Перегляд книги: Cliff Taubes & # 39; Диференціальна геометрія: набори, дані, зв'язки і кривизна

Диференціальна геометрія є галуззю передової математики, яка, ймовірно, має більш якісні посібники, ніж будь-яка інша. У нього є кілька справжніх класиків, всі згодні, принаймні його треба переглядати. Схоже, що останнім часом кожен і його двоюрідний брат намагаються написати «Підручник Великої Американської Диференціальної Геометрії». Насправді важко зрозуміти, чому: Тема диференціальної геометрії – це не тільки одне з найкрасивіших і захоплюючих додатків диференціального числення і топології, але й один з найпотужніших. Мова різноманітності є природною мовою більшості аспектів класичної та сучасної фізики – або загальна теорія відносності, або фізика елементарних частинок може бути правильно виражена без понять координат ділянок на множині різноманітностей, груп Лі або пучків волокон. Я дійсно не міг чекати закінченого тексту на основі Cliff Taubes & # 39; Математика 230 лекцій на першому курсі аспірантури для студентів Гарвардського університету, яку він викладав там і там протягом багатьох років. Ви повинні привітати книгу визнаного майстра теми, тому що ви можете сподіватися, що вона принесе перспективу дослідника до матеріалу.

Ну, книга в кінці кінців і мені шкода, що я повідомив про це трохи розчарування. Теми, висвітлені в цій книзі, зазвичай є підозрілими щодо першого року навчання магістра, хоча вони обговорюються на дещо вищому рівні, ніж звичайно: гладкі різноманіття, групи Лі, векторні пакети, векторні розшарування, ріманові метрики, геодезія на ріманових многовидах, головний промінь , коваріантні похідні та зв'язки, голономія, поліноми кривизни та характеристики класів, тензор кривизни Рімана, складні різноманіття, голоморфні підмодулі композитного колектора та келлерівські метри. З позитивної сторони це дуже добре написано і включає в себе віртуальний поточний ландшафт сучасної диференціальної геометрії. Презентація є якомога більш незалежною, враховуючи, що все сказано, книга має 298 сторінок і складається з 19 розділів розміру укусу. Професор Таубес дає докладні, але лаконічні докази основних результатів, які свідчать про його авторитет у цій сфері. Таким чином, інтенсивна сума покривається дуже ефективно, але досить чітко. Кожен розділ містить докладну бібліографію для додаткового читання, що є одним з найцікавіших аспектів книги – автор коментує інші роботи і як вони вплинули на його виклад. Його надія очевидна, що він буде надихати своїх учнів читати інші рекомендовані роботи одночасно з його, що показує чудові освітні цінності з боку автора. На жаль, цей підхід є двосічним мечем, тому що він йде рука об руку з одним з недоліків книги, яку ми отримаємо на деякий час.

Taubes пише дуже добре, і ставить його виклад у численних спостереженнях. Крім того, у кожній секції є багато хороших і добре підібраних прикладів, що, на мою думку, є дуже важливим. Вона навіть охоплює матеріали про складні різноманіття і теорію Ходжа, яку у більшості підручників на початку досліджень уникнути через технічні тонкощі розділення строго геометрично геометричних аспектів від алгебраїчних. Що тут дійсно дуже добре. (Цікаво, що Taubes визнає, що його вплив на книгу був пізній правовий курс Rauol Bot в Гарварді. USCD, Лоуренс Конлон & # 392; Окремі колектори серед найвідоміших. Дуже смиренно, як один педагог-експерт може визначити тему для покоління.)

На жаль, є 3 проблеми з книгою, що робить його трохи розчаровує і всі мають відносини з тим, що є НЕ у книзі. Перша та найсерйозніша проблема з Taubes & # 39; книга в тому, що це насправді не підручник, це збірка лекцій. Він має нуль вправи. Дійсно – схоже, що Oxford University Press щойно взяв остаточну версію Taubes & # 39; онлайн-нотатки і підрахувавши на них обкладинку. Не те щоб це було необхідно поганий Звичайно, деякі з кращих джерел з диференціальної геометрії (і розвиненою математикою в цілому) є конспектами лекцій (на розум приходять класичні нотатки SSChern і John Milnors). Але для занять і для чогось потрібно платити багато грошей – вам дійсно потрібно більше, ніж просто друкований набір доповідей, які хтось може завантажити безкоштовно.

Їх також набагато важче використовувати як підручник, тому що треба шукати в інших місцях вправи. Я не думаю, що маю правильний набір вправ від автора, який розробив текст Тестування вашого розуміння дійсно занадто тягар, щоб витратити щось на те, що ви витрачаєте 30-40 доларів, чи не так? Це справжня мотивація для дуже детальних і впертих посилань для кожної глави – студентам не рекомендується дивитися на деякі з них одночасно, але потрібно для того, щоб знайти власні вправи? Якщо так, то дійсно слід конкретно вказати і проявляє деяку лінь з боку автора. Коли йдеться про набір лекційних записів, які повинні формувати реальний курс, в якому є інструктор, який буде вести студентів через літературу з точки зору того, чого не вистачає, він працює добре. Фактично, це може забезпечити студентам ще більш цікавий і плідний курс. Але якщо ви пишете підручник, це дійсно повинно бути повністю самодостатнім, тому, незалежно від того, що інші посилання пропонують, це суворо опціональний , Кожен курс відрізняється, і якщо книга не включає його власні вправи, які різко обмежують залежність курсу від тексту. Я впевнений, що у Таубеса є всі набори проблем з різних розділів початкового курсу – I d сильно Заохочуйте його включити значне число до другого видання.

Друга проблема, хоч і не така серйозна, як перша, полягає в тому, що дослідник Таубеса, ви очікуєте трохи більше творчості і розуміння того, що для цього є добре. «Добре, він зізнався, що це початок для початківців. можна піти занадто далеко від основного підручника, або це буде марно як основа для подальших досліджень. Отже, заключний розділ, що підсумовує поточний стан гри в диференційній геометрії, використовуючи весь механізм, який був розроблений – особливо в галузі математичної фізики – допоможе послухати захоплюючий погляд галузь чистої та прикладної математики, іноді використовуючи відступ у приємному оригінальному матеріалі, що зазвичай не в таких книгах: наприклад, у методі Шварцшильда, але він не дає жодних причин, чому він має значення або його роль в загальна теорія відносності.

Нарешті – у книзі в основному немає фотографій. Ніхто. Нуль. Нада. Добре, він зізнався, що це текст рівня майстра, і студенти повинні дійсно малювати свої фотографії. Але для мене одна з речей, які роблять диференційну геометрію настільки захоплюючою, що це візуальна і чуттєва тема: у класичному курсі DG ви можете відчути, що якщо ви досить розумні, ви можете зробити майже все. з малюнком. Надання повністю формальної невізуальної презентації усуває більшу частину цього концептуального збудження і робить його більш сухим і менш цікавим, ніж це є насправді. У цьому другому виданні я розглядаю врахування деяких візуальних елементів. Вам не потрібно багато додавати, якщо ви пурист. Але деякі, особливо в розділах про конкретні класи і розділи векторів і пучків волокон, могли б пояснити ці частини незмірно.

Отже, остаточний вердикт? Дуже солідний джерело, що дозволяє вперше навчитися ГД на рівні випускників, але його необхідно завершити, щоб заповнити недоліки. На щастя, кожна глава містить дуже хороший набір посилань. З них можна легко вибрати додаткове читання та вправи. Я напевно рекомендую класичний Guillemin та Pollack differential топологія як попереднє читання, "трилогія" Джона М. Лєі для читання і виконання вправ, дивовижний 2-томний текст з фізики Геометрія, топологія та показники Григорій Набер за зв'язки і додатки для фізики, а також безліч хороших фотографій і конкретних розрахунків. Щоб проілюструвати дефект складної диференціальної геометрії, спробуйте класичний варіант Wells і більш сучасний текст Комплексна диференціальна геометрія Чжан. Завдяки всьому, що доповнить Taubes, ви будете в ідеальній формі цілий рік у сучасній диференційній геометрії.